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72. 编辑距离

力扣链接(中等)：https://leetcode.cn/problems/edit-distance

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

  • 插入一个字符
  • 删除一个字符
  • 替换一个字符

示例 1：

Text Only
1
2
3
4
5
6
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

Text Only
1
2
3
4
5
6
7
8
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

  • 0 <= word1.length, word2.length <= 500
  • word1 和 word2 由小写英文字母组成

个人题解

动态规划

  • dp[i][j] 为区间分别为 [0, i - 1], [0, j - 1] 的 word1 和 word2 子串，要使得其相等，最少需要操作（增/删/改）的次数；
  • dp 初始化：当 word2/1 为空时，word1/2 显然要删除 i/j 个字母，才能使得其相等；
  • 状态转移：见下方推导说明。

状态转移

题目允许三种操作方式，分别为增/删/改，根据三种操作方式，可以分析出以下情况：

  • 当 word1[i - 1] == word2[j - 1] 时，显然不用做任何操作，直接获取当前字母之前部分的状态：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]；

  • 当 word1[i - 1] != word2[j - 1] 时，分别做三种操作：

    1. 对 word1 当前项进行删除/对 word2 新增一项，转移为区间 [0, i - 2], [0, j - 1] 的 word1 和 word2 子串的状态，所以从 [i - 1][j] 获取状态：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1；
    2. 对 word2 当前项进行删除/对 word1 新增一项，转移为区间 [0, i - 1], [0, j - 2] 的 word1 和 word2 子串的状态，所以从 [i][j - 1] 获取状态：dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1；
    3. 对 word1/2 当前项进行修改（以修改 word1 为例），将 word1[i - 1] = word2[j - 1]，显然，二者的长度没有发生改变，所以从 [i - 1][j - 1] 获取状态：dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1。

    综上：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]}) + 1。

关于 「word1/2 删除当前项/ word2/1 新增一项」为什么能合并为一种状态的举例说明：

img1

C++
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class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        const int N = 510;
        // dp[i][j] 区间分别为 [0, i - 1], [0, j - 1] 的 word1, word2 子串
        // 要使得其相等，最少需要操作（增/删/改）的次数
        int dp[N][N] = {};

        // 初始化
        // 当 word2 为空时，word1 显然要删除 i 个字母，才使得其相等
        for(int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        // 同理
        for(int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

        for(int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for(int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if(word1[i - 1] == word2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else dp[i][j] = min({dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]}) + 1;
            }
        }

        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};